Риман Интеграл срещу Лебег Интеграл

Интеграцията е основна тема в смятането. В по-широк смисъл интеграцията може да се разглежда като обратен процес на диференциация. Когато моделирате проблеми в реалния свят, е лесно да пишете изрази, включващи производни. В такава ситуация е необходима операцията за интегриране, за да намери функцията, която даде конкретната производна.

От друг ъгъл интеграцията е процес, който обобщава произведението на функция ƒ (x) и δx, където δx има тенденция да бъде определена граница. Ето защо използваме символа за интегриране като ∫. Символът ∫ всъщност е това, което получаваме чрез разтягане на буквата s, за да се отнася до сумата.

Риман Интеграл

Помислете за функция y = ƒ (x). Интегралът на y между a и b, където a и b принадлежат на множество x, се записва като b∫aƒ (x) dx = [F (x)] a → b = F (b) - F (a). Това се нарича определен интеграл от единичната стойност и непрекъснатата функция y = ƒ (x) между a и b. Това дава площта под кривата между a и b. Това също се нарича интеграл на Риман. Интегралът на Риман е създаден от Бернхард Риман. Интегралът на Риман в непрекъсната функция се основава на мярката на Йордан, следователно, той също се определя като граница на сумите на Риман на функцията. За реално оценена функция, дефинирана в затворен интервал, интегралът на Риман на функцията по отношение на дял x1, x2,…, xn, определен на интервала [a, b] и t1, t2,…, tn, където xi ≤ ti ≤ xi + 1 за всяко i ε {1, 2,…, n}, сумата на Риман се определя като Σi = o до n-1 ƒ (ti) (xi + 1 - xi).

Lebesgue Integral

Lebesgue е друг вид интеграл, който обхваща голямо разнообразие от случаи, отколкото интегралът на Риман. Интегралът на lebesgue е въведен от Henri Lebesgue през 1902 г. Интеграцията на Legesgue може да се разглежда като обобщение на интеграцията на Риман.

Защо трябва да изучаваме друг интеграл?

Нека разгледаме характеристичната функция ƒA (x) = {0 ако, x не ε A1, ако, x ε A на множество A. Тогава ограничена линейна комбинация от характерни функции, която се определя като F (x) = Σ aiƒEi (x ) се нарича простата функция, ако Ei е измерима за всеки i. Интегралът на Лебег на F (x) над E се обозначава с E∫ ƒ (x) dx. Функцията F (x) не е интегрирана по Риман. Следователно интегралът на Lebesgue е префразирането на интеграла на Риман, което има някои ограничения върху функциите, които трябва да бъдат интегрирани.